• DİK ÜÇGEN

• PİSAGOR BAĞINTISI

Dik üçgende dik kenarların uzunluklarının kareleri toplamı hipotenüsün uzunluğunun karesine eşittir. ABC üçgeninde m(A) = 90°

• ÖZEL DİK ÜÇGENLER

1. (3 - 4 - 5) Üçgeni

2. (5 - 12 - 13) Üçgeni

3. İkizkenar dik üçgen

4. (30° – 60° – 90°) Üçgeni

ABC eşkenar üçgeni yükseklikle ikiye bölündüğünde ABH ve ACH (30° - 60° - 90°) üçgenleri elde edilir. |AB| = |AC| = a
|BH| = |HC| =
pisagordan

5. (30° - 30° - 120°) Üçgeni

6. (15° - 75° - 90°) Üçgeni

• ÖKLİT BAĞINTILARI

1. Yüksekliğin hipotenüste ayırdığı parçaların çarpımı yüksekliğin karesine eşittir.
h2 = p.k

2.  b2 = k.a     c2 = p.a

3. ABC üçgeninin alanını iki farklı şekilde yazıp eşitlediğimizde

 

• Yukarıda anlatılan öklit bağıntıları kullanılarak elde edilir.
  
  Genellikle bu öklit bağıntısını kullanmak yerine, yukarıdaki öklit bağıntıları ve pisagor bağıntısını kullanarak çözüme gideriz.

• İKİZKENAR ÜÇGEN

5. İkizkenar üçgende ikizkenara ait kenarortaylar ve kenarortayların kesim noktasının ayırdığı parçalar da birbirine eşittir.
6. İkizkenar üçgende eşit açılara ait açıortaylar da eşittir. Açıortaylar birbirini aynı oranda bölerler.
7. İkizkenar üçgende ikiz olmayan kenar üzerindeki herhangi bir noktadan ikiz kenarlara çizilen dikmelerin toplamı, ikizkenarlara ait yüksekliği verir.
8. İkizkenar üçgende tabandan ikiz kenarlara çizilen paralellerin toplamı, ikiz kenarların uzunluğuna eşittir.

EŞKENAR ÜÇGEN

1. Eşkenar üçgende bütün açıortay, kenarortay yükseklikler çakışık ve hepsinin uzunlukları eşittir.  nA = nB = nC = Va = Vb = Vc = ha = hb = hc
2. Eşkenar üçgenin bir kenarına a dersek yükseklik Bu durumda eşkenar üçgenin alanı yükseklik cinsinden alan değeri Alan(ABC) =
3. Eşkenar üçgenin içindeki herhangi bir noktadan kenarlara çizilen dik uzunlukların toplamı, eşkenar üçgene ait yüksekliği verir. Bir kenarı a olan eşkenar üçgende;
4. Eşkenar üçgenin içindeki herhangi bir noktadan kenarlara çizilen paralellerin toplamı bir kenar uzunluğuna eşittir.Bir kenarı a olan ABC eşkenar üçgeninde

1. Genel Alan Bağıntısı ABC üçgeninde [BC] kenarına ait yükseklik [AH]

Bir üçgenin alanı, bir kenarı ile o kenara ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır.

Hangi kenarı kullanırsak kullanalım üçgenin alanı sabittir

.

Bir ABC üçgeninde yükseklik her zaman üçgenin içinde olmayabilir.
                  

2. Dik Üçgende Alan
Dik üçgenin alanı dik kenarlarının çarpımının yarısına eşittir.
                     

3. Bir açısı ve bu açının kenarları bilinen üçgenin alanı;
ABC üçgeninde
m(ABC) = a
|AB| = c
|BC| = a
             

a. Birbirini 180° ye tamamlayan açıların sinüsleri eşit olduğundan;
 

eşitliği vardır.

b. |BC| = a |AB| = c uzunlukları sabit olan ABC üçgeninin alanının maksimum olabilmesi için a = 90° olmalıdır.

c. Hipotenüs uzunluğu sabit olan ABC dik üçgeninin alanının en büyük değerini alabilmesi için |AB| = |AC| olmalıdır. ABC üçgeni ikizkenar dik üçgen olmalıdır.

4. Üç kenarının uzunluğu verilen üçgenin alanı; ABC üçgeninin çevresi Çevre(ABC) = a + b + c
Çevrenin yarısına u dersek

 

5. Çevresi ve iç teğet çemberinin yarıçapı verilen üçgenin alanı; ABC üçgeninin iç teğet çemberinin yarıçapı r olsun.

Bu üç alanı toplayarak ABC üçgeninin alanını bulabiliriz.

A(ABC)=u.r

Bir ABC üçgeninde iç teğet çemberin yarıçapı r ve yükseklikler

ABC dik üçgeninde A(ABC) = |BD|.|DC|        
 

6. Kenarları ve çevrel çemberinin yarıçapı verilen ABC üçgeninin çevrel çemberinin merkezi O ve yarıçapı R olsun.

• Orta Dikme

Üçgenin kenarının orta noktasından çizilen dik doğrulara orta dikme denir. [EA, a kenarının [FO, b kenarının [DO, c kenarının orta dikmeleridir.

O noktası çevrel çemberin merkezidir.
7. Yükseklikleri eşit üçgenlerin alanları arasındaki bağıntı;
Yükseklikleri eşit üçgenlerin alanlarının oranı tabanlarının oranına eşittir.
ABC ve ACD üçgenlerinin tabanları aynı doğru üzerinde ve tepe noktaları aynı noktada olduğuna göre, yükseklikleri eşittir.

                            
8. Tabanları eşit üçgenlerin alanlarının oranı yüksekliklerinin oranına eşittir. ABC ve DBC üçgenlerinin tabanları eşit ve çakışıktır.
                    

1. Bir üçgende ölçüsü büyük olan açının karşısındaki kenar uzunluğu, ölçüsü küçük olan açının karşısındaki kenar uzunluğundan daha büyüktür.

ABC  üçgeninde  m(A) > m(B) > m(C)
                                 a  >     b     >      c

Terside geçerlidir. Uzun kenarı gören açı kısa kenarı gören açıdan daha büyüktür.

İkizkenar üçgenden de bildiğimiz gibi eşit açıların karşılarındaki kenarlar eşittir.

m(B) = m(C) => |AB| = |AC| m(A) < m(B) = m(C) ise |BC| < |AB| = |AC| olur.

•  Bir üçgende bir tane geniş açı olabileceğinden geniş açının karşısındaki kenar daima en büyük kenar olur.

2. Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük farkının mutlak değerinden büyüktür. ABC üçgeninde  lb - c l Diğer kenarlar için de aynı durum geçerlidir.

3. Dik, dar ve geniş açılı üçgenlerde kenarlar arasındaki ilişkiler. a. Bir dik üçgende kenarlar arasında a2 = b2 + c2 bağıntısı vardır.

b. Dar açılı üçgen b ve c sabit tutulup A açısı küçültülürse a da küçülür. m(A) < 90° a2 < b2  + c3

c. Geniş açılı üçgen  b ve c sabit tutulup A açısı büyütülürse a da büyür. m(A) < 90° a2 > b2  + c3

4. Çeşitkenar bir üçgende aynı köşeden çizilen yükseklik, açıortay ve kenarortay uzunluklarının sıralanması,

|AH| = ha ; yükseklik

|AN| = nA ; açıortay

|AD| = Va ; kenarortay

5. Çeşitkenar bir üçgende, açı, açıortay, kenarortay ve yükseklik arasındaki sıralama;

ABC üçgeninde a, b, c kenar uzunluklarıdır.  m(A) > m(B) > m(C) olduğuna varsayalım.  Bu durumda üçgende

kenarlar :           a > b > c

yükseklikler :     h_a < h_b < h_c

Açıortaylar :     n_A < n_B < n_C

Kenarortaylar : V_a < V_b < V_c

şeklinde sıralanırlar. Yani üçgenin yardımcı elemanları kenarlarının sırasına ters olarak sıralanır.

•  Eşkenar ve ikizkenar üçgen için bu sıralamalar geçerli değildir.

6. Bir kenarları ortak olan içiçe iki üçgenden içtekinin çevresi daha küçük olur.   |BD| + |DC| < |AB| + |AC|

ABCD bir dörtgen, a, b, c, d kenar uzunlukları [AC] ve [BD] köşegenlerdir. ABCD dörtgeninde karşılıklı kenarların uzunlukları toplamı, köşegenlerin uzunlukları toplamından küçüktür.

a + c < |AC| + |BD| ve b + d < |AC| + |BD|

köşegen uzunlukları toplamı çevreden daha büyük ve çevrenin yarısından daha küçük olamaz.

İç içe şekillerde içteki şeklin çevresi daha küçük olacağından |DA| + |AB| + |BC| toplamı |DE| + |EF| + |FC| toplamından daha büyüktür.

7. ABC üçgeninin içindeki herhangi bir P noktası için; |AP| + |BP| + |CP| toplamı ABC üçgeninin çevresinden büyük, çevresinin yarısından küçük olamaz.
Burada ve Çevre değerleri sınır değer değildir.

Doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren üç doğru parçasının birleşimine üçgen denir. Burada;   A, B, C noktaları üçgenin  köşeleri, [AB], [AC], [BC] doğru parçaları üçgenin  kenarlarıdır.
BAC, ABC ve ACB açıları üçgenin iç açılarıdır.   |BC| = a, |AC| = b, |AB| = c uzunluklarına üçgenin kenar uzunlukları denir. iç açıların bütünleri olan açılara dış açılar denir.
ABC üçgeni bir düzlemi; üçgenin kendisi, iç bölge, dış bölge, olmak üzere üç  bölgeye ayırır.  (üçgensel bölge)

1. Kenarlarına göre üçgen çeşitleri

a. Çeşitkenar üçgen 

2. Açıortay Üçgenin bir köşesindeki açıyıiki eş parçaya ayıran ışına o köşenin açıortayıdenir.   3. Kenarortay Üçgenin bir kenarının orta noktasını karşısındaki köşe ile birleştiren doğru parçasına o kenara ait kenarortay denir. |AD| = Va , |BE| = Vb  olarak ifade edilir.   Dik üçgende, hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısına eşittir. |BC| = a (hipotenüs)    ÜÇGENDE AÇI ÖZELLİKLERİ 1. Üçgende iç açıların ölçüleri toplamı180° dir. [AD // [BC] olduğundan, iç ters ve yöndeş olan açılar bulunur. a + b + c = 180° m(A) + m(B) + m(C) = 180° Üçgenin iç açılarının toplamı180° dir. İç açılara komşu ve bütünler olan açılara dış açı denir. 2. Üçgende dış açıların ölçüleri toplamı360° dir. a' + b' + c' = 360° m(DAF)+m(ABE)+m(BCF)=360°   3. Üçgende bir dış açının ölçüsü kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir. [AB] // [CE olduğundan   m(ACD)=a+b   m(DAC) = m(A') = b + c m(DBE) = m(B') = a + c m(ECF) = m(C') = a + b Yandaki şekilde a, b, c bulundukları açıların ölçüleri ise,   m(BDC) = a+b+c   4. iki kenarı eş olan üçgene ikizkenar üçgen denir.ABC üçgeninde:   lABl=lACl m(B)=m(C)   Burada A açısına ikizkenar üçgenin tepe açısı, [BC] kenarına ise tabanıdenir. Tepe açısına m(BAC) = a dersek Taban açıları   5. Üç kenarıeş olan üçgene eşkenar üçgen denir. ABC üçgeninde |AB| = |BC| = |AC| m(A) = m(B) = m(C) = 60° Eşkenar üçgen, ikizkenar üçgenin bütün özelliklerini taşır.   ÜÇGENDE AÇIORTAYLAR 1. Üçgende iç açıortaylar bir noktada kesişirler. Bu nokta üçgenin içteğet çemberinin merkezidir. Açıortayların kesiştiği noktadan kenarlara çizilen dikmelerin uzunluklarıeşittir. (Çemberin yarıçapı) 2. Üçgende iki dış açıortay ile üçüncü iç açıortay bir noktada kesişirler. Bu nokta üçgenin dıştan teğet çemberlerinden birinin merkezidir. (Üç dış teğet çember vardır.) [AD], [BD] ve [CD] açıortaylarından herhangi ikisi verildiğinde üçüncüsünün de kesinlikle açıortaydır. 3. iki iç açıortayın kesişmesiyle oluşan açı; ABC üçgeninde ve BDC üçgeninde iç açılar toplamı  yazılırsa   4. iki dış açıortayın kesişmesiyle oluşan açı; ABC üçgeninin dış açılar toplamıve BDC üçgeninin iç açılar toplamını yazarsak   5. Bir iç açıortay ile bir dış açıortayın kesişmesiyle oluşan açı, ABC üçgeninin C açısının dış açıortayı ile B açısının iç açıortayı arasındaki açının ölçüsü A açısının ölçüsünün yarısıdır.   Burada D noktası dış teğet çemberlerden birinin merkezi olduğundan, A dan çizilen dış açıortayda D noktasından geçer. 6. Açıortayla yükseklik arasında kalan açı; ABC üçgeninde [AD] A açısına ait açıortay ve [AH] yüksekliktir. Açıortayla yükseklik arasındaki açıya m(HAD) = x dersek  Bir açı ve açıortayını başka bir doğrunun kestiği durumlarda dış açı özelliği kullanılarak bütün açılar bulunabilir.

Z/m deki işlemler (mod m) ye göre yapılır.
 

Bir soruyu çözmek için verilen zamanın % 75 ini soruyu anlamaya, % 17 sini çözme yolunu oluşturmaya % 8 ini de soruyu çözmeye ayırmalısınız.

Buna göre, soruları çözerken;

1) Soru, verilenler ve istenen anlaşılana kadar okunur.

2) Verilenler matematik diline çevrilir.

3) Denklem çözme metodları ile matematik diline çevrilen denklem çözülür.

4) Bulunanın, soru cümlesinde istenen olup olmadığı kontrol edilir.

B. MATEMATİK DİLİNE ÇEVİRME

Verilen problemin x, y, a, b, c gibi sembollerle ifade edilmesine matematik diline çevirme denir.

1) Herhangi bir sayı x olsun.

Sayının a fazlası : x + a dır.

Sayının a fazlasının yarısı :

Sayının yarısının a fazlası :

Sayının küpünün a eksiği :

2) Herhangi iki sayı x ve y olsun.

Bu iki sayının toplamının a katı : a . (x + y) dir.

Bu iki sayının kareleri toplamı : x² + y² dir.

Bu iki sayının toplamının karesi : (x + y)² dir.

3) Ardışık tam sayılardan en küçüğü x olsun.

Ardışık üç tam sayının toplamı :

x + (x + 1) + (x + 2) dir.

Ardışık üç çift sayının toplamı :

x + (x + 2) + (x + 4) tür.

C. KESİR PROBLEMLERİ

ye kesir denir.

•  Herhangi bir sayı x olsun.

Bu sayının sı :

Bu sayının sının b fazlası :

Bu sayısı kadar artırılırsa :

Bu sayının si ile sinin toplamı :

D. YAŞ PROBLEMLERİ

• Bir kişinin yaşı x ise,
• T yıl önceki yaşı :
• T yıl sonraki yaşı : x + T olur.
•  Kişiler arasındaki yaş farkı her zaman aynıdır.
•  İki kişinin yaşları oranı yıllara göre orantılı değildir.
•  İki kişinin yaşları toplamı T yıl sonra 2T artar.
•  n kişinin yaşları toplamı T yıl sonra n . T artar.

E. İŞÇİ - HAVUZ PROBLEMLERİ

Bir işi;

A işçisi tek başına a saatte,

B işçisi tek başına b saatte,

C işçisi tek başına c saatte

yapabiliyorsa;

•  A işçisi 1 saatte işin sını bitirir.
   
•  A ile B birlikte t saatte işin sini bitirir.
  
   A, B, C birlikte t saatte işin sini bitirir.

Eğer üçü t saatte işi bitirmiş ise bu ifade 1 e eşittir.

A işçisi x saat, B işçisi y saat C işçisi z saat çalışarak işi bitiriyorsa,

Havuz problemleri işçi problemleri gibi çözülür.

A musluğu havuzun tamamını a saatte doldurabiliyor.

Tabanda bulunan B musluğu dolu havuzun tamamını tek başına b saatte boşaltabiliyor olsun.

Bu iki musluk birlikte bu havuzun t saatte

sini doldurur.

Bu havuzun dolması için b > a olmalıdır.

F. HAREKET PROBLEMLERİ

V : Hareketlinin hızı

x : Hareketlinin V hızıyla t sürede aldığı yol

t : Hareketlinin V hızıyla x yolunu alma süresi ise,

Aralarında x km olan iki araç saatte V1 km ve V2 km hızla aynı anda birbirine doğru hareket ederlerse karşılaşma süresi

Bu iki araç aynı anda çembersel bir pistin, aynı noktasından zıt yönde aynı anda hareket ederlerse karşılaşma süresi yine

Aralarında x km olan iki araç saatte V1 km ve V2 km hızla aynı anda aynı yönde hareket ederlerse arkadaki aracın (V1 hızlı araç) öndekini yakalama süresi

Bu iki araç aynı anda çembersel bir pistin aynı noktasından aynı yönde hareket ederse hızı büyük olan aracın hızı küçük olan aracı

yakalama süresi yine

Eşit zamanda V1 ve V2 hızlarıyla alınan yolda hareketlinin ortalama hızı,

Belirli bir yolu V1 hızıyla gidip V2 hızıyla dönen bir aracın ortalama hızı,

G. YÜZDE PROBLEMLERİ

A sayısının % a sı :

A nın % a sı ile B nin % b sinin toplamı :

A ya A nın % a sı eklenirse :

A dan A nın % a sı çıkarılırsa :

H. FAİZ PROBLEMLERİ

F : Faiz miktarı

A : Ana para (Kapital)

n : Yıllık faiz oranı

t : Kapitalin faizde kalma süresi

olmak üzere,

t yılda,
t ayda,
t günde,

Faize yatırılan para her yıl getirdiği faiz ile birlikte tekrar faize yatırılırsa elde edilen toplam faize bileşik faiz denir.

Buna göre, A TL yıllık bileşik faiz oranı % n olan bir bankaya yatırılıyor. t yıl sonra

I. KARIŞIM PROBLEMLERİ

A kabında, tuz oranı % A olan x litrelik tuzlu su çözeltisi ile B kabında tuz oranı % B olan y litrelik tuzlu su çözeltisi, boş olan C kabında karıştırılırsa oluşan x + y litrelik karışımın tuz oranı

® Tuz oranı % A olan tuzlu su çözeltisinin su oranı

A. PROBLEM ÇÖZME YÖNTEMİ

Denklem kurma ile ilgili soruları çözerken aşağıda anlatılan yöntemin kullanılması sorularda kolaylık sağlayacaktır.

B. MATEMATİK DİLİNE ÇEVİRME

Sorularda verilen ifadelerin matematik diline çevrilmesini örneklerle açıklayalım.

Herhangi bir sayı x olsun :

- Bir sayının 7 fazlası, x + 7 dir.

- Bir sayının 5 eksiğinin yarısı,

- Bir sayının yarısının 3 eksiği,

- Bir sayının 2 katının 5 fazlası, 2x + 5 tir.

- Bir sayının 3 fazlasının 4 katı, 4 . (x + 3) tür.

- Bir sayının 8 eksiğinin 3 katının 7 fazlası, 3 . (x – 8) + 7 dir.

- Payı paydasının 2 katının 4 eksiğine eşit olan kesir,

- Bir sayının sinin ünün

- Bir sayının ünün toplamı,

A. ORAN a ve b reel sayılarının en az biri sıfırdan farklı olmak üzere, ye a nın b ye oranı denir.

• Kesrin payı sıfır olabilir fakat paydası sıfır olamaz.
• Oranın payı ya da paydası sıfır olabilir.
• Oranlanan çoklukların birimleri aynı tür ya da aynı olmalıdır.
• Oranın sonucu birimsizdir.

B. ORANTI
En az iki oranın eşitliğine orantı denir. Yani oranı ile nin eşitliği olan ye orantı denir.
ise, a ile d ye dışlar, b ile c ye içler denir.

C. ORANTININ ÖZELLİKLERİ
1)    ise a.d= b.c

3) m ile n den en az biri sıfırdan farklı olmak üzere,

4) a : b : c = x : y : z ise,

Burada,

a = x . k
b = y . k
c = z . k dır.
D. ORANTI ÇEŞİTLERİ
1. Doğru Orantılı Çokluklar
Orantılı iki çokluktan biri artarken diğeri de aynı oranda artıyorsa ya da biri azalırken diğeri de aynı oranda azalıyorsa bu iki çokluk doğru orantılıdır denir.
x ile y doğru orantılı ve k pozitif bir doğru orantı sabiti olmak üzere, y = k . x ifadesine doğru orantının denklemi denir. Bu denklemin grafiği aşağıdaki gibidir.

 

 

• İşçi sayısı ile üretilen ürün miktarı doğru orantılıdır.
• Bir aracın hızı ile aldığı yol doğru orantılıdır.

2. Ters Orantılı Çokluklar
Orantılı iki çokluktan biri artarken diğeri aynı oranda azalıyorsa ya da biri artarken diğeri aynı oranda azalıyorsa bu iki çokluk ters orantılıdır denir.
x ile y ters orantılı ve k pozitif bir ters orantı sabiti olmak üzere, ifadesine ters orantının denklemi denir.
Bu denklemin grafiği aşağıdaki gibidir.

 

 

• İşçi sayısı ile işin bitirilme süresi ters orantılıdır.
• Bir aracın belli bir yolu aldığı zaman ile aracın hızı ters orantılıdır.

a, b ile doğru c ile ters orantılı ve k pozitif bir orantı sabiti olmak üzere,

E. ARİTMETİK ORTALAMA
n tane sayının aritmetik ortalaması bu n sayının toplamının n ye bölümüdür.
Buna göre, x1, x2, x3, ... , xn sayılarının aritmetik ortalaması,

Bu n tane sayının herbiri; A ile çarpılır, B ilave edilirse oluşan yeni sayıların aritmetik ortalaması Ax + B olur.
F. GEOMETRİK ORTALAMA
n tane sayının geometrik ortalaması bu sayıların çarpımının n. dereceden köküdür.
Buna göre,
x1, x2, x3, ... , xn sayılarının geometrik ortalaması

• a ile b nin geometrik ortalaması (orta orantılısı)
• a, b, c biçimindeki üç sayının geometrik ortalaması,
   

• a ile b nin aritmetik ortalaması geometrik ortalamasına eşit ise a = b dir.

G. HARMONİK (AHENKLİ) ORTA
x1, x2, x3, ... , xn sayılarının harmonik ortalaması

 

 

• a ile b nin harmonik ortalaması

 

• a, b, c gibi üç sayının harmonik ortalaması

 

• İki pozitif sayının aritmetik ortalaması A, geometrik ortalaması G ve harmonik ortalaması H ise,

A. PROBLEM ÇÖZME STRATEJİSİ Bir soruyu çözmek için verilen zamanın % 75 ini soruyu anlamaya, % 17 sini çözme yolunu oluşturmaya % 8 ini de soruyu çözmeye ayırmalısınız.
Buna göre, soruları çözerken;
1) Soru, verilenler ve istenen anlaşılana kadar okunur.
2) Verilenler matematik diline çevrilir.
3) Denklem çözme metodları ile matematik diline çevrilen denklem çözülür.
4) Bulunanın, soru cümlesinde istenen olup olmadığı kontrol edilir.
B. MATEMATİK DİLİNE ÇEVİRME
Verilen problemin x, y, a, b, c gibi sembollerle ifade edilmesine matematik diline çevirme denir.
1) Herhangi bir sayı x olsun.
Sayının a fazlası : x + a dır.

2) Herhangi iki sayı x ve y olsun.

3) Ardışık tam sayılardan en küçüğü x olsun.
Ardışık üç tam sayının toplamı :
x + (x + 1) + (x + 2) dir.
Ardışık üç çift sayının toplamı :
x + (x + 2) + (x + 4) tür.
C. KESİR PROBLEMLERİ

D. YAŞ PROBLEMLERİ

Havuz problemleri işçi problemleri gibi çözülür.
A musluğu havuzun tamamını a saatte doldurabiliyor.
Tabanda bulunan B musluğu dolu havuzun tamamını tek başına b saatte boşaltabiliyor olsun.
Bu iki musluk birlikte bu havuzun t saatte
sini doldurur.
Bu havuzun dolması için b > a olmalıdır.
F. HAREKET PROBLEMLERİ
V : Hareketlinin hızı
x : Hareketlinin V hızıyla t sürede aldığı yol
t : Hareketlinin V hızıyla x yolunu alma süresi ise,

Aralarında x km olan iki araç saatte V1 km ve V2 km hızla aynı anda birbirine doğru hareket ederlerse karşılaşma süresi

Bu iki araç aynı anda çembersel bir pistin, aynı noktasından zıt yönde aynı anda hareket ederlerse karşılaşma süresi yine

 

Aralarında x km olan iki araç saatte V1 km ve V2 km hızla aynı anda aynı yönde hareket ederlerse arkadaki aracın (V1 hızlı araç) öndekini yakalama süresi

 

Bu iki araç aynı anda çembersel bir pistin aynı noktasından aynı yönde hareket ederse hızı büyük olan aracın hızı küçük olan aracı yakalama süresi yine

 

Eşit zamanda V1 ve V2 hızlarıyla alınan yolda hareketlinin ortalama hızı,

Belirli bir yolu V1 hızıyla gidip V2 hızıyla dönen bir aracın ortalama hızı,

G. YÜZDE PROBLEMLERİ

H. FAİZ PROBLEMLERİ
F : Faiz miktarı
A : Ana para (Kapital)
n : Yıllık faiz oranı
t : Kapitalin faizde kalma süresi
olmak üzere,

Faize yatırılan para her yıl getirdiği faiz ile birlikte tekrar faize yatırılırsa elde edilen toplam faize bileşik faiz denir.
Buna göre, A TL yıllık bileşik faiz oranı % n olan bir bankaya yatırılıyor. t yıl sonra

I. KARIŞIM PROBLEMLERİ

 

 

A kabında, tuz oranı % A olan x litrelik tuzlu su çözeltisi ile B kabında tuz oranı % B olan y litrelik tuzlu su çözeltisi, boş olan C kabında karıştırılırsa oluşan x + y litrelik karışımın tuz oranı

® Tuz oranı % A olan tuzlu su çözeltisinin su oranı % (100 – A) dır

A. TANIM

a ve b gerçel (reel) sayılar ve a ¹ 0 olmak üzere,
ax + b = 0 eşitliğine birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.
Bu denklemi sağlayan x değerlerine denklemin kökü, denklemin kökünün oluşturduğu kümeye denklemin çözüm kümesi denir.

B. EŞİTLİĞİN ÖZELLİKLERİ



C. ax + b = 0 DENKLEMİNİN ÇÖZÜM KÜMESİ

D. BİRİNCİ DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEM SİSTEMİ

a, b, c Î IR, a ¹ 0 ve b ¹ 0 olmak üzere,
ax + by + c = 0 denklemine birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem denir.
Bu denklem düzlemde bir doğru belirtir. Doğru üzerindeki bütün noktaların oluşturduğu ikililer denkle-min çözüm kümesidir.
Buna göre, ax + by + c = 0 denkleminin çözüm kümesi birçok ikiliden oluşur.
a, b, c Î IR olmak üzere,

 

denklemi her (x, y) Î IR2 için sağlanıyorsa

 

Birden fazla iki bilinmeyenli denklemden oluşan sisteme birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemi denir.
Çözüm Kümesinin Bulunması
Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin çözüm kümesi; yok etme yöntemi, yerine koyma yöntemi, grafik yöntemi, determinant yöntemi gibi yöntemlerden biri ile yapılır.
Biz burada üçünü vereceğiz.
a. Yok Etme Yöntemi: Değişkenlerden biri yok edilecek biçimde verilen denklem sistemi düzenlenir ve taraf tarafa toplanır.
Taraf tarafa toplandığında veya çıkarıldığında (ya da bir düzenlemeden sonra) değişkenlerden biri sadeleşiyorsa “Yok etme yöntemi” kolaylık sağlar.
b. Yerine Koyma Yöntemi: Verilen denklemlerin birinden, değişkenlerden biri çekilip diğer denklem-de yerine yazılarak sonuca gidilir.
Denklemlerin birinden, değişkenlerden biri kolayca çekilebiliyorsa, “Yerine koyma yöntemi” kolaylık sağlar.
c. Karşılaştırma Yöntemi: Verilen denklemlerin iki-sinden de aynı değişken çekilir. Denklemlerin diğer tarafları karşılaştırılır (eşitlenir).
Her iki denklemden de aynı değişken kolayca çekilebiliyorsa, “Karşılaştırma yöntemi” kolaylık sağlar.
Ü ax + by + c = 0
dx + ey + f = 0
denklem sistemini göz önüne alalım:
Bu iki denklemin her birinin düzlemde bir doğru belirttiği göz önüne alınırsa üç durum olduğu görülür.
Birinci durum:
ise, bu iki doğru tek bir noktada kesişir.
Verilen denklem sisteminin çözüm kümesi bir tek noktadan oluşur.
İkinci durum:
ise, bu iki doğru çakışıktır.
Doğru üzerindeki her nokta denklem sistemini sağlar.
Verilen denklem sisteminin çözüm kümesi sonsuz noktadan oluşur.
Üçüncü durum:
ise, bu iki doğru paraleldir.
Denklem sistemini sağlayan hiçbir nokta bulunamaz.
Verilen denklem sisteminin çözüm kümesi boş kümedir.

A. TANIM

Sayı doğrusu üzerinde x reel (gerçel) sayısının orijine olan uzaklığına x in mutlak değeri denir.
|x| biçiminde gösterilir.

Bütün x gerçel (reel) sayıları için,

B. MUTLAK DEĞERİN ÖZELLİKLERİ

A. REEL (GERÇEL) SAYI ARALIKLARI
1. Kapalı Aralık
a < b olsun.
a ve b sayıları ile bu sayıların arasındaki tüm reel (gerçel) sayıları kapsayan aralık
[a, b] veya a £ x £ b, x Î IR biçiminde gösterilir ve “a, b kapalı aralığı” diye okunur.
2. Açık Aralık ve Yarı Açık Aralık
i) (a, b) veya a < x < b, x Î IR ifadesine açık aralık denir.
ii) (a, b) açık aralığının uç noktalarından herhangi birinin dahil edilmesiyle elde edilen aralığa yarı açık aralık denir.

[a, b) veya a £ x < b ifadesine sağdan açık aralık denir.
B. EŞİTSİZLİĞİN ÖZELLİKLERİ
1) Bir eşitsizliğin her iki yanına aynı sayı eklenir ya da çıkarılırsa eşitsizlik aynı kalır.

 

2) Bir eşitsizliğin her iki yanı pozitif bir sayı ile çarpılırsa ya da bölünürse eşitsizlik aynı kalır. Negatif sayı ile çarpılırsa ya da bölünürse eşitsizlik yön değiştirir.

A. TANIM

a ve b tam sayı, b ¹ 0 olmak üzere, şeklinde ifade edilen sayılara rasyonel sayı veya kesir denir.
Pay
Kesir cizgisi
Payda
··
B. KESİR ÇEŞİTLERİ

1. Basit Kesir
İşaretine bakılmaksızın payı paydasından küçük olan kesirlere basit kesir denir.

• basit kesir ise

• pozitif basit kesir ise ;

2. Bileşik Kesir
İşaretine bakılmaksızın payı paydasından küçük olmayan (büyük veya eşit olan) kesirlere bileşik kesir denir.

• bileşik kesir ise,

3. Tam sayılı Kesir

Herhangi bir sayma sayısı ile birlikte yazılabilen kesirlere tam sayılı kesir denir.

Her bileşik kesir bir tamsayılı kesir biçiminde yazılabilir.

C. RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER

1. Genişletme ve Sadeleştirme

k ¹ 0 olmak üzere,

2. Toplama - Çıkarma

Toplama ve çıkarma işleminde payda eşitlenecek biçimde kesirler genişletilir ya da sadeleştirilir. Oluşan kesirlerin payları toplanır (ya da çıkarılır) ortak payda alınır.

3.Çarpma -Bölme


4. İşlem Önceliği

Toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve üs alma işlemlerinden bir kaçının birlikte bulunduğu rasyonel sayılarda işlemler, aşağıdaki sıraya göre yapılır.

1. Parantezler ve kesir çizgisi işleme yön verir.
2. Üslü işlemler varsa sonuçlandırılır.
3. Çarpma - bölme yapılır.
4. Toplama - çıkarma yapılır.

Toplama ile çıkarma ve çarpma ile bölme kendi arasında öncelik taşımaz. Özellikle çarpma ile bölmede öncelik söz konusu ise bu, parantezle belirlenir.

D. ONDALIKLI SAYILAR

1. Ondalıklı Sayı
a bir tam sayı ve n bir sayma sayısı ise biçimindeki rasyonel sayılara ondalıklı sayı denir.

 

Burada a ya tam kısım, bcd ye de ondalıklı kısım denir.
2. Devirli (Periyodik) Ondalıklı Sayı
Bir ondalıklı sayıda ondalıklı kısım belli bir kurala göre tekrarlanıyorsa bu sayıya devirli ondalıklı sayı denir.

3. Ondalık Sayılarda İşlemler
a. Toplama - Çıkarma: Ondalık kesirler toplanırken, virgüller alt alta gelecek şekilde yazılır ve doğal sayılarda toplama - çıkarma işleminde olduğu gibi toplama - çıkarma işlemi yapılır. Sonuç, virgüllerin hizasından virgülle ayrılır.
b. Çarpma: Ondalık kesirlerin çarpımı yapılırken, virgül yokmuş gibi çarpma işlemi yapılır. Sonuç, çarpılan sayıların virgülden sonraki basamak sayılarının toplamı kadar, sağdan sola doğru virgülle ayrılır.
c. Bölme: Ondalık kesirlerin bölme işlemi yapılırken, bölen virgülden kurtulacak biçimde 10 un kuvveti ile çarpılır. Bölen de aynı 10 un kuvveti ile çarpılarak normal bölme işlemi yapılır.
4. Devirli Ondalık Sayıların Rasyonel Sayıya Dönüştürülmesi

E. RASYONEL SAYILARDA SIRALAMA

Pozitif kesirlerde sıralama yapılırken aşağıdaki yollardan biri kullanılır.
I. Yol:
Paydaları eşit olan (eşitlenen) kesirlerden payı en büyük olan diğerlerinden daha büyüktür.
II. Yol:
Payları eşit olan (eşitlenen) kesirlerden paydası en küçük olan diğerlerinden daha büyüktür.
III. Yol:
Payı ile paydası arasındaki farkı eşit olan, basit kesirlerde, payı en büyük olan diğerlerinden daha büyüktür.
Payı ile paydası arasındaki farkı eşit olan, bileşik kesirlerde, payı en büyük olan diğerlerinden daha küçüktür.
Yukarıda verilen yöntemler pozitif kesirlerde geçerlidir. Negatif kesirlerde ise durum tersinedir.
F. İKİ RASYONEL SAYI ARASINDAKİ SAYILAR

arasında sayılamayacak çoklukta rasyonel sayı vardır. Bunlardan bazılarını bulmak için b ile d nin OKEK i bulunur. Verilen kesirlerin paydaları bulunan OKEK inde eşitlenir. İstenen koşuldaki sayıyı bulmak için kesirler genişletilebilir.
Üx, kesirlerinin ortasındaki bir sayı ise,

2 ile Bölünebilme:

Bir sayının 2 ile tam olarak bölünebilmesi için, birler basamağının

0, 2, 4, 6, 8

sayılarından biri olması gerekir. Yani, her çift sayı 2 ile tam olarak bölünür. Bununla birlikte, tüm tek sayılar 2 ile bölündüğünde, kalan 1 olur. 

3 ile Bölünebilme:

Bir sayının 3 ile tam olarak bölünebilmesi için, sayının rakamları toplamının 3 veya 3 ün katları olması gerekir. Bir sayının 3 e bölümünden kalan, rakamları toplamının 3 e bölümünden kalana eşittir.

4 ile Bölünebilme:

Bir sayının 4 ile tam olarak bölünebilmesi için, sayının son iki basamağının

00 veya 4 ün katları

olması gerekir. Bir sayının 4 ile bölümündeki kalan, sayının son iki basamağının 4 e bölümündeki kalana eşittir. Diğer taraftan, 4 ile tam olarak bölünebilen yıllar, artık yıl olarak isimlendirilir. Yani, artık yılların Şubat ayı 29 gün çeker. Dolayısıyla, 4 ile Bölünebilme, artık yılların bulunması kullanılabilir.

5 ile Bölünebilme:

Bir sayının 5 ile tam olarak bölünebilmesi için, sayının birler basamağının

0 veya 5

olması gerekir. Bir sayının 5 ile bölümündeki kalan, sayının birler basamağının 5 e bölümündeki kalana eşittir.

6 ile Bölünebilme:

Bir sayının 6 ile tam olarak bölünebilmesi için, bu sayının hem 3 ile hem de 2 ile tam olarak bölünmesi gerekir. Yani, 6 ile bölünebilen bir sayının hem çift sayı olması hem de rakamları toplamının 3 veya 3 ün katları olması gerekir.

7 ile Bölünebilme:

Bir sayının 7 ile tam olarak bölündüğünü tespit etmek için, sayının rakamlarının altına birler basamağından başlayarak (sağdan sola doğru)

a b c d e f

2 3 1 2 3 1

-         +

sırasıyla ( 1 3 2 1 3 2 ...) yazılmalı ve şu hesap yapılmalıdır:

( 1.f + 3.e +2.d ) - ( 1.c + 3.b + 2.a ) = 7.k + m  ( k, m: tamsayı) 

Sonuç, 7 veya 7 nin katları  ( m = 0 ) olursa, bu sayı 7 ile tam olarak bölünür. Şayet, m sıfırdan farklı bir tamsayı olursa, bu sayının 7 ile bölümünden kalan m olur. İşaretler de sağdan başlayarak sırasıyla her üçlü için

+, -, +, -, +, -, +, ...

şeklinde olmalıdır. Bu kurala, (132) kuralı adı verilmektedir.

8 ile Bölünebilme:

Bir sayının 8 ile bölünebilmesi için, sayının son üç basamağının

000 veya 8 in katı

olması gerekir. Bir sayının 8 ile bölümündeki kalan, sayının son üç basamağındaki sayının 8 e bölümündeki kalana eşittir.

9 ile Bölünebilme:

Bir sayının 9 ile tam olarak bölünebilmesi için, sayının rakamlarının toplamının 9 veya 9 un katları olması gerekir. Bir sayının 9 a bölümündeki kalan, sayının rakamlarının toplamının 9 a bölümündeki kalana eşittir.

10 ile Bölünebilme:

Bir sayının 10 ile tam olarak bölünebilmesi için, sayının birler basamağının sıfır olması gerekir. Bir sayının 10 a bölünmesiyle elde edilen kalan, sayının birler basamağındaki rakama eşittir.

11 ile Bölünebilme:

Bir sayının 11 ile tam olarak bölünebilmesi için, sayının rakamlarının altına birler basamağından başlayarak sırasıyla 

+, -, +, -, ...

işaretleri yazılır, artılı gruplar kendi arasında ve eksili gruplar kendi arasında toplanır, genel toplamın da

0, 11 veya 11 in katları

olması gerekir. Bir sayının 11 ile bölümündeki kalan, artılı ve eksili gruplarının toplamının 11 e bölümündeki kalana eşittir.

12 ile Bölünebilme:

Bir sayının 12 ile bölünebilmesi için, bu sayının hem 3 ile hem de 4 ile tam olarak bölünmesi gerekir.

15 ile Bölünebilme:

Bir sayının 15 ile bölünebilmesi için, bu sayının hem 3 ile hem de 5 ile tam olarak bölünmesi gerekir.

18 ile Bölünebilme:

Bir sayının 18 ile bölünebilmesi için, bu sayının hem 2 ile hem de 9 ile tam olarak bölünmesi gerekir.

24 ile Bölünebilme:

Bir sayının 24 ile bölünebilmesi için, bu sayının hem 3 ile hem de 8 ile tam olarak bölünmesi gerekir.

25 ile Bölünebilme:

Bir sayının 25 ile tam olarak bölünebilmesi için, sayının son iki basamağının

00, 25, 50, 75

olması gerekir.

Herhangi bir sayı ile Bölünebilme:

a ve b aralarında asal sayı ve 

x = a . b 

olsun. Şayet, bir sayı hem a ya hem de b ye bölünüyorsa, bu sayı x e de tam olarak bölünür.

Örnek 1:

Rakamları farklı 5 basamaklı 9452X sayısının 2 ile bölünebilmesi için, X değerlerinin toplamı kaç olmalıdır?

Çözüm:

9452X sayısının 2 ile bölünebilmesi için, X in alabileceği değerler

0, 2, 4, 6, 8

olmalıdır. Oysa, bu sayının rakamlarının farklı olması istendiğinden, X rakamı 2 ile 4 olamaz. Dolayısıyla, X in alabileceği değerler

0, 6, 8

dir. Bu değerlerin toplamı

0 + 6 + 8 = 14

olur.

Örnek 2:

5 basamaklı 1582A sayısının 3 ile bölünebilmesini sağlayan A değerlerinin toplamı kaçtır?

Çözüm:

Bir sayının 3 ile bölünebilmesi için, sayının rakamları toplamının 3 ün katları olması gerektiğinden,

1 + 5 + 8 + 2 + A = 3 . k

olmalıdır. Buradan,

16 + A = 3 . k

olur. Böylece, A

2, 5, 8

değerlerini alması gerekir. Dolayısıyla, bu değerlerin toplamı

2 + 5 + 8 = 15

olarak bulunur.

Örnek 3:

İki basamaklı mn sayısı 3 ile tam olarak bölünebilmektedir. Dört basamaklı 32mn sayısının 3 ile bölümünden kalan kaçtır?

Çözüm:

mn sayısı 3 ile tam olarak bölünebildiğine göre,

m + n = 3 . k

olması  gerekir. O halde, 32mn sayısının 3 bölümünden kalan şöyle bulunur:

3 + 2 + m + n = 5 + ( m + n )

= 5 + 3 . k

= 3 + 2 + 3 . k

= 2 + 3 . k

Dolayısıyla, Kalan = 2 dir.

Örnek 4:

Dört basamaklı 152X sayısının 4 e bölümünden kalan 2 olduğuna göre, X in alabileceği değerler toplamı kaçtır?

Çözüm:

152X sayısının 4 e tam olarak bölünebilmesi için, sayının son iki basamağının yani 2X in, 4 ün katları olması gerekir. O halde, X,

0, 4, 8                      ...  (1)

değerlerini alırsa, 152X sayısı 4 e tam olarak bölünür. Kalanın 2 olması için, (1) nolu değerlere 2 ilave edilmelidir. Bu taktirde, X,

2, 6

değerlerini almalıdır. Dolayısıyla, bu değerlerin toplamı

2 + 6 = 8

olur.

Örnek 5:

666 + 5373

toplamının 4 e bölümünden kalan kaçtır?

Çözüm:

666 nın 4 e bölümünden kalan şöyle bulunur:

66 nın 4 e bölümünden kalana eşit olup, kalan 2 dir.

5373 ün 4 e bölümünden kalan şöyle bulunur:

73 ün 4 e bölümünden kalana eşit olup, kalan 1 dir.

Bu kalanlar toplanarak, toplamın kalanı

2 + 1 = 3

bulunur.

Örnek 6:

99999 . 23586 . 793423 . 458

çarpımının 5 e bölümünden kalan kaçtır?

Çözüm:

Bir sayının 5 e bölümünden kalanı bulmak için, birler basamağına bakılması gerekir ve birler basamağındaki rakamın 5 e bölümündeki kalana eşittir. Dolayısıyla,

99999 sayısının 5 e bölümünden kalan 4'tür.

23586 sayısının 5 e bölümünden kalan 1'dir.

793423 sayısının 5 e bölümünden kalan 3'tür.

458 sayısının 5 e bölümünden kalan 3'tür.

Bu kalanların çarpımı,

4 . 1 . 3 . 3 = 36

olur. 36'nın 5'e bölümünden kalan ise, 1'dir.

Örnek 7:

Rakamları birbirinden farklı dört basamaklı 3m4n sayısı, 6 ile tam olarak bölündüğüne göre, m + n in en büyük değeri kaçtır?

Çözüm:

Bir sayının 6 ile tam olarak bölünebilmesi için, sayının hem 2 ile hem de 3 ile tam olarak bölünmesi gerekir.

3m4n sayısının 2 ye tam olarak bölünebilmesi için, n nin

0, 2, 4, 6, 8

olması gerekir. m + n nin en büyük olması için, n =  8 olmalıdır. Böylece, 3m4n sayısı,

3m48

olur. 3m48 sayısının, aynı zamanda, 3 e bölünmesi gerektiğinden,

3 + m + 4 + 8 = m + 3

olur ve böylece m, şu değerleri alabilir:

0, 3, 6, 9

m + n nin en büyük olması için, m = 9 alınmalıdır. Dolayısıyla, m = 9 ve n = 8 için, m + n nin en büyük değeri,

m + n = 9 + 8 = 17

olur.

Örnek 8:

Beş basamaklı m362m sayısı, 7 ile tam bölündüğüne göre, m nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

Çözüm:

(132) kuralını kullanmalıyız.

m 3 6 2 m = ( m.1 + 2.3 + 6.2 ) - ( 3.1 + m.3 ) = m + 6 + 12 - 3 - 3m = - 2m + 15  

3  1 2 3  1

  -       +

- 2m + 15 = 7.k

Buradan m = 4 olur.

Örnek 9:

458028 sayısının 8 e bölümünden kalan kaçtır?

Çözüm:

Bir sayının 8 ile bölümünden kalanı bulmak için, sayının son üç basamağının 8 ile bölümünden kalanına bakılmalıdır. Dolayısıyla, 28 sayısının 8 ile bölümündeki kalanı bulmalıyız. 

28 in 8 ile bölümünden kalan 4 tür.

O halde, 458028 sayısının 8 e bölümünden kalan, 4 tür.

Örnek 10:

10 basamaklı 4444444444 sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?

Çözüm:

Sayının rakamlarının toplamını alıp, 9 un katlarını atmalıyız.

Rakamların toplamı: 4 . 10 = 40 dır. Buradan, 4 + 0 = 4 bulunur.

O halde, 4444444444 sayısının 9 a bölümündün kalan 4 tür.

Örnek 11:

Dört basamaklı 268m sayısının 10 ile bölümünden kalan 3 olduğuna göre, m kaç olmalıdır?

Çözüm:

Bir sayının 10 a bölümünden kalanı bulmak için, birler basamağına bakılmalıdır. Sayınnı birler basamağındaki rakam kaç ise, kalan odur. 

Bu nedenle, 268m sayısının 10 ile bölümünden kalan 3 olduğuna göre, m = 3 olmalıdır.

Örnek 12:

Dokuz basamaklı 901288563 sayısının 11 ile bölümünden kalan kaçtır?

Çözüm:

9 0 1 2 8 8 5 6 3

+  - + -  + -  +  -  +

Kalan = ( 9 + 1 + 8 + 5 + 3 ) - ( 0 + 2 + 8 + 6 )

= 26 - 16

= 10

olarak bulunur.

Örnek 13:

Beş basamaklı 5m23n sayısının 30 ile tam olarak bölünebilmesi için, m ve n nin hangi değerleri alması gerekir?

Çözüm:

Bir sayının 30 ile tam olarak bölünebilmesi için, hem 10 ile hem de 3 ile tam olarak bölünmelidir.

Bir sayının 10 ile tam olarak bölünebilmesi için, sayının birler basamağının 0 olması gerekir. Dolayısıyla, n = 0 olmalıdır. Böylece, verilen sayı

5m230

olur.

Bir sayının 3 ile tam olarak bölünebilmesi, sayının rakamları toplamının 3 ün katları olması gerekir. Dolayısıyla,

5 + m + 2 + 3 + 0 = 3.k

m + 10 = 3.k

m = 2, 5, 8

olur.  O halde, m = 2, 5, 8 ve n = 0 olmalıdır.

A. SAYI BASAMAĞI

Bir sayıyı oluşturan rakamlardan her birine bu sayının basamağı denir.
Bir doğal sayıda kaç tane rakam varsa sayı o kadar basamaklıdır. 243 üç basamaklı bir sayıdır.
B. ÇÖZÜMLEME

Doğal sayıyı oluşturan rakamların bulunduğu yerdeki değerine basamak değeri denir.
Basamak değerlerinin toplamına o sayının çözümlenmiş biçimi denir.
a b c = 103 . a + 10 . b + c
| | |
| | |
| | | 100 lar (birler) basamağı
| |
| | 101 ler (onlar) basamağı
|
| 102 ler (yüzler) basamağı

• ab = 10 . a + b
• abc = 100 . a + 10 . b + c
• aaa = 111 . a
• ab + ba = 11 . (a + b)
• ab – ba = 9 . (a – b)
• abc – cba = 99 . (a – c)

C. TABAN

Bir sayı sisteminde sayının basamak değerlerini göstermek için kullanılan düzene taban denir.
T taban olmak üzere,

(1. Onluk Tabanda Verilen Sayının Herhangi Bir Tabana Çevrilmesi
Onluk tabanda verilen sayı, hangi tabana çevrilmek isteniyorsa, o tabana bölünür. Bölüm tekrar tabana bölünür. Bu işleme bölüm 0 olana kadar devam edilir.
Ardışık olarak yapılan bu bölmelerden kalanlar sondan başlayarak (ilk kalan son rakam olacak şekilde) sıralanmasıyla istenen sayı oluşturulur.
2. Herhangi Bir Tabanda Verilen Sayının 10 luk Tabana Çevrilmesi
Herhangi bir tabandan 10 luk tabana geçirilirken verilen sayı, ait olduğu tabana göre çözümlenir.
3. Herhangi Bir Tabanda Verilen Sayının Başka Bir Tabanda Yazılması
Herhangi bir tabanda verilen sayı önce 10 tabanına çevrilir. Bulunan değer istenen tabana dönüştürülür.
4. Taban Aritmetiğinde Toplama, Çıkarma, Çarpma İşlemleri
Değişik tabanlarda yapılacak işlemler 10 luk sistemdekine benzer biçimde yapılır.
T tabanında verilen sayılarda toplama ve çarpma işlemleri bilinen cebirsel işlem gibi yapılır, ancak sonuç T den büyük çıkarsa içinden T ler atılıp kalan alınır. Atılan T adedi elde olarak bir sonraki basamağa ilave edilir.
Çıkarma işlemi yapılırken 10 luk sistemdekine benzer biçimde, bir soldaki basamaktan 1 (bir) almak gerektiğinde, bu 1 in aktarıldığı basamağa katkısı tabanın sayı değeri kadardır. Fakat alındığı basamaktaki rakam 1 azalır.

A. TANIM

n, 1 den büyük bir sayma sayısı olmak üzere,
xn = a denklemini sağlayan x sayısına a nın n inci dereceden kökü denir.

B. KÖKLÜ İFADELERİN ÖZELLİKLERİ

C. KÖKLÜ İFADELERDE YAPILAN
İŞLEMLER
1. Toplama - Çıkarma
Kök dereceleri birbirine eşit ve kök içindeki sayılar da birbirine eşit olan ifadelerin katsayıları toplanır ya da çıkarılır.
Bulunan sonuç köklü ifadenin katsayısı olur.

2. Çarpma
n ve m, 1 den büyük tek sayı ya da a ve b negatif olmamak üzere,

4. Paydayı Kökten Kurtarma
Uygun koşullarda,

Yukarıdaki son iki özellikte a. ardışık iki pozitif tam sayının çarpımı ise v. 'nin cevabı bu sayıların büyüğü vi'nin cevabı bu sayıların küçüğüdür

F. KÖKLÜ İFADELERDE SIRALAMA
Kök dereceleri eşit olan (ya da eşitlenen) pozitif sayılarda ,kök içindeki sayıların büyüğüne göre sıralama yapılır.

A. TANIM

a bir gerçel (reel) sayı ve n bir sayma sayısı olmak üzere,
 

ifadesine üslü ifade denir.

B. ÜSLÜ İFADENİN ÖZELLİKLERİ

- Küme, nesnelerin iyi tanımlanmış listesidir.

- Kümeler genellikle A, B, C gibi büyük harflerle gösterilir.

- Kümeyi oluşturan ögelere, kümenin elemanı denir. a elemanı A kümesine ait ise,
a A biçiminde yazılır. "a, A kümesinin elemanıdır." diye okunur.

 b elemanı A kümesine ait değilse, b A biçiminde yazılır. "b, A kümesinin elemanı değildir." diye okunur.

- Kümede, aynı eleman bir kez yazılır.

- Elemanların yerlerinin değiştirilmesi kümeyi değiştirmez.

- A kümesinin eleman sayısı s(A) ya da n(A) ile gösterilir.

- Kümenin elemanları aşağıdaki 3 yolla gösterilebilir.

-Kümenin elemanları { } sembolü içine, her bir elemanın arasına virgül konularak yazılır.

- Kümenin elemanları, daha somut ya da daha kolay algılanır biçimde gerektiğinde sözel, gerektiğinde matematiksel bir ifade olarak ortaya koyma biçimidir.

A = {x : (x in özelliği)}

Burada "x :" ifadesi “öyle x lerden oluşur ki” diye okunur.

Bu ifade "x |" biçiminde de yazılabilir.

- Küme, kapalı bir eğri içinde her eleman bir nokta ile gösterilip noktanın yanına elemanın adı yazılarak gösterilir.

Bu gösterime Venn Şeması ile gösterim denir.

- Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir.

- Eleman sayıları eşit olan kümelere denk kümeler denir.

A kümesi B kümesine eşit ise A = B,

C kümesi D kümesine denk ise

biçiminde gösterilir.

D. BOŞ KÜME

- Hiç bir elemanı olmayan kümeye boş küme denir.

- Boş küme { } ya da sembolleri ile gösterilir.

- Eşit olan kümeler ayın zamanda denktir. Fakat denk kümeler eşit olmayabilir.

- {.} ve {0} kümeleri boş küme olmayıp birer elemana sahip iki denk kümedir.

- Bir kümenin, kendisinden farklı bütün alt kümelerine o kümenin özalt kümeleri denir.

3. Alt Kümenin Özellikleri

A nın elemanlarından veya B nin elemanlarından oluşan kümeye bu iki kümenin birleşim kümesi denir

2. Birleşim Işleminin Özellikleri

4. Kesişim Işleminin Özellikleri

Üzerinde işlem yapılan, bütün kümeleri kapsayan kümeye, evrensel küme denir. Evrensel küme genellikle E ile gösterilir.

Evrensel kümenin elemanı olup, A kümesinin elemanı olmayan elemanlardan oluşan kümeye A nın tümleyeni denir ve A ya da A' ile gösterilir.

Bir kümenin bütün alt kümelerin kümesine kuvvet kümesi denir. Kuvvet kümesi P(A) ile gösterilir.

A kümesinde olup, B kümesinde olmayan elemanların kümesine A fark B kümesi denir. A fark B kümesi A – B ya da A \ B biçiminde gösterilir.

A, B, C kümeleri E evrensel kümesinin alt kümeleri olmak üzere,

Tenis veya voleybol oynayanların sayısı:

C. EŞİT KÜME, DENK KÜME